说明
1. 参考自阮一峰博客中的文章：贝叶斯推断及其互联网应用（一）
一、条件概率（Conditional probability）
- 条件概率，就是指在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，用\(P(B\mid{A})\)来表示。
- 根据文氏图，可以很清楚地看到在事件A发生的情况下，事件B发生的概率就是\(P(A\bigcap{B})\)除以\(P(A)\)。 \[P(B\mid{A})=\cfrac{P(A\bigcap{B})}{P(A)}\] 因此：\[P({A} \bigcap {B})=P(B\mid{A})\times P(A)\] 同理可得：\[P({A} \bigcap {B})=P(A\mid{B})\times P(B)\] 所以：\[P(B\mid{A})\times P(A)= P(A\mid{B})\times P(B)\] 即：\[P(A\mid{B})= \cfrac{P(B\mid{A})\times P(A)}{P(B)} \]
二、全概率公式
假定样本空间S，是两个事件A与A'的和。 
上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。
在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。 
即：\[P(B) = P({B} \bigcap {A}) + P({B} \bigcap {A'})\]
在之前的推导当中，我们已知：\[P({A} \bigcap {B})=P(B\mid{A})\times P(A)\] 所以：\[P(B) = P(B\mid{A})\times P(A) + P(B\mid{A'})\times P(A')\] 把 \(P(B)\)代入上一节中的条件概率公式 $P(A)= $ \[P(A\mid{B})= \cfrac{P(B\mid{A})\times P(A)}{P(B\mid{A})\times P(A) + P(B\mid{A'})\times P(A')} \]
三、贝叶斯定理及贝叶斯推断
对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式： \[P(A\mid{B})= \cfrac{P(B\mid{A})}{P(B)} \times P(A)\]
- \(P(A)\)称为"先验概率"（Prior Probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。
- \(P(A\mid{B})\)称为"后验概率"（Posterior Probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。
- \(\cfrac{P(B\mid{A})}{P(B)}\)称为"可能性函数"（likelihood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。
所以，条件概率可以理解成：
后验概率 ＝ 先验概率 × 调整因子
这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。
- 在这里，如果"可能性函数"\(\cfrac{P(B\mid{A})}{P(B)}\)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；
- 如果"可能性函数"\(\cfrac{P(B\mid{A})}{P(B)}\)=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；
- 如果"可能性函数"\(\cfrac{P(B\mid{A})}{P(B)}\)<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。
四、水果糖的例子
问题：两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？
我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以\(P(H_1)\) = \(P(H_2)\)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，\(P(H_1)\) = 0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。
再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求\(P(H_1\mid{E})\)。我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。
根据条件概率公式，得到 \[P(H_1\mid{E}) = P(H_1) \times \cfrac{P(E\mid{H_1})}{P(E)}\]
已知，\(P(H_1)\) = 0.5，\(P(E\mid{H_1})\)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出\(P(E)\)就可以得到答案。
根据全概率公式： \[P(E)=P(E\mid{H_1}) \times P(H_1) +P(E\mid{H_2}) \times P(H_2)\]
所以： \[P(E)=0.75\times0.5+0.5\times0.5=0.625\]
五、假阳性问题
已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性（灵敏度为99%）。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性（特异度为95%）。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？
假定A事件表示得病，那么\(P(A)\)为0.001。这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。
再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是\(P(A\mid{B})\)。这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。
\[P(A\mid{B})= \cfrac{P(B\mid{A})}{P(B\mid{A})\times P(A) + P(B\mid{\overline {A}})\times P(\overline {A})} \times P(A)\]
\[\approx \cfrac{0.99}{0.99 \times 0.001+0.05\times 0.999} \times {0.001} \]
我们得到了一个惊人的结果，\(P(A\mid{B})\)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性"，即阳性结果完全不足以说明病人得病。
为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？
首先是与误报率(5%)太高有关，其次也和发病率太低(0.1%)有关。