说明
1. 译自BetterExplained上的文章An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
\(e\)一直困扰着我，并不是字母e，而是数学常数。它到底意味着什么？在很多数学书籍，甚至我心爱的维基百科都用晦涩的术语来描述\(e\)：
数学常数\(e\)是自然对数的底数。
当你查找自然对数时，你会得到：
自然对数（以前称为双曲线对数）的底数为\(e\)，其中\(e\)是约等于2.718281828459的无理常数(irrational constant)。
许多数学上的解释在追求严谨方面都是非常正式和枯燥乏味的。但这并不能帮助初学者尝试解决某个问题。
一、\(e\)不只是一个数字
通常，我们将\(e\)描述为“约为2.71828……的常数”，就像称\(\pi\)为“约为3.1415……的无理数”。这当然是恰当的，但完全错过了要点。
（一）\(\pi\)是所有圆的圆周和直径之间的比率
它是所有圆中固有的基础比率，因此影响圆、球和圆柱等的周长、面积、体积和表面积的计算，以及从圆上得到的三角函数(sin，cos，tan)。
（二） \(e\)是所有连续增长过程都共有的基本增长率
你可以用\(e\)表示一个简单的增长率（所有的增长都是发生在年末的一个瞬变），同时发现连续型复合增长的影响，每一纳秒（或者更快），你只需要增长一点点。
只要当系统呈连续型指数级增长，\(e\)便会出现：种群密度、放射性衰变、利息计算等等。甚至并不是平稳增长的锯齿状增长系统都能用\(e\)来近似。
就像每个数字都可以被认为和1（基本单位）呈某个比例，每个圆可以认为和单位圆（半径为1）呈某个比例，同样每个增长率都可以认为和e（单位增长率）呈某个比例。
因此\(e\)并不是一个模糊的、似乎随机的数字。\(e\)表示这样的思想，即所有连续型增长系统和某个一般比率呈比例关系。
\(e\) represents the idea that all continually growing systems are scaled versions of a common rate.
二、理解指数增长
首先来看一个基本系统，其在一段时间之后会翻倍。比如，
细菌每24小时分裂并翻倍
把面条对折，我们可以得到两倍数量。
如果你（幸运！）得到100%的利润率，那么你的财富每年翻倍。
数学上，如果分裂x次，那么我们得到原始物品数量的\(({2^x})\)倍。一次分裂我们得到\((2^{1})\)或者2倍。四次分裂我们得到\((2^{4})\)或者16倍。通用公式如下：\[growth = 2 ^x\]
另一种描述方式，双倍也就是100%的增长。我们可以重写公式如下：
\[growth = (1+100\%)^x\]
虽然两个等式相同，但我们对2的分割具有真实意义，即原始值1加上100%。聪明吧？
当然，我们可以用任意数字（50%，25%，200%）代替100%，然后得到关于新比率的growth公式。因此x个周期的回报的通用公式是：
\[growth = (1+return)^x\] 这只是意味着我们连续使用自定义的回报率，\((1 + return)\)，“\(x\)”次。
三、深入了解指数增长
上述公式假设增长是离散型的。细菌在等待，等待，然后爆发，它们在最后的最后数量加倍；利息收入在1年的刻度处魔幻般出现。基于上述公式的增长是离散的、瞬间发生的，即，绿点突然出现。
事实并非如此，如果我们放大来看，会发现细菌随时间分裂：
绿先生（Mr. Green）不只是突然出现：它缓慢增长，然后脱离蓝先生（Mr. Blue）。一个单位时间（本例中是24小时）之后，绿先生完成生长，然后成熟为蓝细胞，可以创造它自己的新绿细胞。
这个信息会改变我们的等式么？
不！在细菌实例中，半成品的绿细胞仍然做不了任何事情，除非它们完全长大并从蓝色父母中分离。因此，等式保持不变。
四、金钱改变一切
然而财富却不一样。每收入1便士的利息，这1便士就能开始产生它自己的微便士（micro-pennies）。我们不需要等到收入完整的1美元利息：新的财富不需要成熟。
基于我们旧的公式，利息增长看起来是这样的：
但是这样并不正确：所有的利息出现在最后一天。让我们把一年放大并分为两块。即每年收入100%的利息，或者每6个月收入50%。那么前六个月收入50美分，后六个月收入另外50美分：
但这依然不正确！当然，原始的财富（Mr. Blue）在一年之内收入1美元。但是6个月后我们收入了50美分，明白了吧，我们之前忽略了这一部分！这50美分本来也有它自己的收入：
因为比率是每半年50%，那50美分本可以收入25美分（50美分的50%）。年末我们可以得到：
- 原始财富（Mr. Blue）
- 蓝先生创造的财富（Mr. Green）
- 绿先生创造的25美分（Mr. Red）
总共得到$2.25，即从初始的财富中收益$1.25，比翻倍要好！
让我们把回报写成公式。两个50%的半周期的growth是： \[growth = (1+50\%)^2 = 2.25\]
五、复合增长的深入研究
是时候提升一个等级了。这次不再把增长为为两个50%的增长周期，而把它分为三段33%的增长周期。谁说我们必须等待6个月才能开始收入利息？毫厘必争！
3个复合周期的增长得到下面有趣的图表：
想象每种颜色将收益向上传送给另一种颜色（它的孩子），每个周期增长33%：
- 0月：初始蓝先生为$1。
- 4月：蓝先生已经收入它自己的1/3美元，同时创造出的绿先生拥有33美分。
- 8月：蓝先生收入另外33美分，交给绿先生，绿先生拥有66美分。绿先生在它之前的值上收益33%，创造11美分\((33\% \times 33)\)，这11美分变成红先生。
- 12月：情况变得略疯狂了。蓝先生收入另外33美分，交给绿先生，绿先生拥有完整的1美元。绿先生在它8月份的值（66美分）上收入33%的回报，即22美分，这22美分加到红先生上，红先生现在总共33美分。而且红先生开始有11美分，并以此收入4美分\((33\% \times 11)\)，创造出紫先生。
12个月后的最终值是：\(1 + 1 + .33 + .04 = 2.37\)
花点时间来真正搞懂这种增长的原委：
- 每种颜色从其自身上收入利息，并交给另一种颜色。新创造的财富也可以产生它自己的利息，依次循环。
- 我喜欢把原始量（蓝先生）看做是不变的。蓝先生收益财富来创造绿先生，由于蓝先生不会变化，所以这是稳定的每4个月33美分的收益。图中，蓝先生有一个蓝色箭头显示出他如何喂养(feeds)绿先生的。
- 绿先生喂养(feeds)红先生（绿色箭头），但是蓝先生并没有意识到。
- 绿先生随时间增长（不断被蓝先生喂养），它对红先生的贡献越来越多。4-8月间，绿先生给了红先生11美分。8-12月间，因为绿先生在8月份有66美分，所以给了红先生22美分。如果我们扩展下图表，绿先生将给红先生33美分，因为绿先生在12月份达到了完整的1美元。
通过在growth等式中使用3个周期，得到这样的公式： \[growth = (1+100\%/3)^3 = 2.37037...\]
我们挣了$1.37，比上次得到的$1.25更好！
六、我们可以得到无尽的财富么？
为什么不采用更短的时间周期呢？每月、每天、每小时，甚至每纳秒会怎么样？回报会猛涨么？
回报确实会变得更好，但也只是在某种意义上。尝试在我们魔幻般的公式中使用不同的数字n，来看下总的回报：
| n | \((1+\cfrac{1}{n})^n\) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 2.25 |
| 3 | 2.37 |
| 5 | 2.488 |
| 10 | 2.5937 |
| 100 | 2.7048 |
| 1000 | 2.7169 |
| 10000 | 2.71814 |
| 100000 | 2.718268 |
| 1000000 | 2.7182804 |
数字越来越大，最终收敛到2.718附近。
如果在越来越小的时间周期上，连续复合100%的回报，\(e\)则被定义为其增长率： \[growth = e = \lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\cfrac {1}{n}\right) ^{n}\]
这个极限似乎是收敛的，而且存在相应的证明。但是如你所见，当我们采用更小的时间周期时，总的回报稳定在2.718附近。
##七、 但这意味着什么呢？ 当在一个时间周期内复合100%的增长时，数字\(e（2.718…）\)是最大的可能结果。当然，开始时你期望从1增长到2（一个100%的增长，对吧？）。但是每向前一小步，你所创造的微薄利润本身也在收益。当所有过程指明并结束，你在一个时间周期末最终得到\(e（2.718…）\)，而不是2。\(e\)是最大的，当我们尽可能多地复合100%时，又发生了什么呢？
那么，如果我们以$1.00为开始，以100%的回报连续复合，我们得到\(1e\)。如果我们以$2.00为开始，我们得到\(2e\)。如果我们以$11.79为开始，我们得到\(11.79e\)。
\(e\)像是一个速度极限（类似光速\(c\)），表明在使用一个连续过程时，可能增长多快。你可能不总是达到速度极限，但它是一个参考点：你可以用这个通用常量表示每个增长率。
注：将增量从最终结果中分离出来。1变成\(e（2.718…）\)是一个171.8%的增量（增长率）。\(e\)本身是在所有增量考虑进去之后（原始值+增量），你所观测到的最终结果。
八、如果使用不同的比率呢？
好问题。如果我们以每年50%增长，而不是100%呢？我们依然可以使用\(e\)么？
来看看，50%的复合增长应该是这样的： \[\lim _{n\rightarrow \infty }\left( 1+\cfrac {0.5}{n}\right) ^{n}\]
回想下，50%是总的回报，n是将增长分成复合增长的周期数。如果我们取n=50，我们可以将增长分成50块，每块1%的利息： \[\left( 1+\cfrac {0.50}{50}\right) ^{50}=\left( 1+0.01\right) ^{50}\]
当然，这不是无穷的，但是已经相当小了。现在想象我们也将常规的100%分割成1%的块： \[e\approx\left( 1+ \cfrac {1.00}{100}\right) ^{100}=\left( 1+0.01\right) ^{100}\]
殊途同归。在我们的常规案例中，有100个1%的累积变化。在50%的场景中，有50个1%的累积变化。
这两个数字间的差异是什么呢？好吧，只是差了一半的变化数目而已： \[\left( 1+0.01\right) ^{50} = \left( 1+0.01\right) ^{100/2}=\left( \left( 1+0.01\right) ^{100}\right) ^{1/2}=e^{1/2}\]
相当有趣的是，\(50/100 = 0.5\)，0.5正是e的指数。这是普遍适用的：如果有300%的增长率，我们可以将它分成300个1%的增长块。这将是标准量的三倍，最终比率为\((e^{3})\)。
这里取了1%，但我们本可以选择任意小的增长单位（0.1%，0.0001%，甚至一个无穷小量）。重点是对于所选取的任意比率，它只是\(e\)上的一个新指数而已： \[growth= e^{rate}\]
九、如果使用不同的周期呢？
假设我们以300%增长两年，我们要将一年的增长\(e^{3}\)乘以其自身： \[growth= (e^{3})^2=e^{6}\]
推而广之： \[growth= (e^{rate})^{time}=e^{rate \times time}\]
大秘密：\(e\)整合了比率和时间
\((e^{3})\)可以表示两个东西：
- x是时间乘以增长率：以100%增长三年是\(e^{3}\)
- x是增长率本身：以300%增长一年是\(e^{3}\)
这个重叠不会引起混淆么？当我们写为：\[e^{x}\]
变量\(x\)是比率和时间的组合。\(x = rate \times time\)
我来解释下。当处理连续型复合增长时，10年3%的增长和1年30%的增长是等价的（此后不增长的话）。
- 10年的3%的增长意味着30个1%的变化，这些变化在10年内发生，所以你是以每年3%连续增长。
- 1个周期的30%的增长意味着30个1%的变化，但是在一年内发生，所以一年增长30%，然后停止。
每个案例中有同样的“30个1%的变化”发生。速率（30%）越快，达到同样的效果所用时间越少（1年）。速率越慢（3%），需要增长的时间越长（10年）。
但是在两个案例中，最后的增长是\(e^{0.30} = 1.35\)。我们更加急切地希望大而快的增长，而不是慢而长的增长，但是\(e\)显示出它们的最终效果是一样的。
所以我们的通用公式变为： \[growth= e^x = e^{rt}\]
十、实例
（一）实例1：最大利率
假设我有账户上有$120，利率5%。银行很慷慨，给了我最大可能的复合。10年后我将得到多少呢？
我们的比率是5%，而且很幸运得以连续复合。10年之后，我们得到\[\$120\times e^{0.05\times 10 }= \$197.85\]
（二）实例2：72法则
如果银行的利息率是5%的复利，请问100元存款翻倍需要多少时间？ 计算结果是13.86年cfrac \[100\times e^{5 \% \times t}= 200\] \[t=\cfrac {\ln 2}{5\% } = \cfrac {0.693}{5\% }= \cfrac {69.3}{5} \approx \cfrac {72}{5}\] 上式最后一个等号，表明用72除以增长率，可以得到翻倍的大致时间，这就是72法则的来源。
（三）实例3：放射性衰变
我有10kg的放射性材料，似乎以每年100%的速率连续衰变。3年后我将有多少呢？
\[10\times e^{-1 \times 3 }= 0.498kg\]